Question

20．如圖，PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2，又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直線AM與直線PC所成的角為60°．
（1）求證：平面PAC⊥平面ABC；
（2）求二面角M-AB-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明平面PAC⊥平面ABC；
（2）建立空間坐標(biāo)系，利用向量法即可求二面角M-AB-C的余弦值．

解答 解（1）∵PC⊥AB，PC⊥BC，AB∩BC=B     …（3分）
∴PC⊥平面ABC，…（4分）    
 又∵PC?平面PAC  …（5分）
∴平面PAC⊥平面ABC  …（6分）
（2）在平面ABC內(nèi)，過(guò)C作CD⊥CB，
建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz（如圖）
由題意有A（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，0），B（0，2，0）
 設(shè)P（0，0，z），（z＞0），
則M（0，1，z），$\overrightarrow{AM}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$，z），$\overrightarrow{CP}$=（0，0，z），
由直線AM與直線PC所成的解為60°，得
$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AM}$=|$\overrightarrow{AM}$||$\overrightarrow{CP}$|cos60°，
即z²=$\frac{1}{2}$z$•\sqrt{{z}^{2}+3}$，解得：z=1   …（8分）
∴$\overrightarrow{AB}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$，0），$\overrightarrow{AM}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$-\frac{1}{2}$，1），
設(shè)平面MAB的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{5}{2}y=0}\\{-\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{3}{2}y+z=0}\end{array}\right.$，
取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，$\frac{3}{5}$，$\frac{3}{5}$），…（10分）
平面ABC的法向量取為$\overrightarrow{m}$=（0，0，1）…（11分）
設(shè)$\overrightarrow{m}$與$\overrightarrow{m}$所成的角為θ，則cosθ=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}=\frac{\sqrt{93}}{31}$，…（13分）
顯然，二面角M-AC-B的平面角為銳角，
故二面角M-AC-B的平面角余弦值為$\frac{\sqrt{93}}{31}$． …（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查空間面面垂直的判定依據(jù)二面角的求解，根據(jù)定義法以及向量法是解決空間二面角的常用方法，考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力．