Question

14．已知a∈R，函數(shù)f₁（x）=x²，f₂（x）=aln（x+2）．
（Ⅰ）令f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{f}_{1}（x），x≤0}\\{{f}_{2}（x），x＞0}\end{array}\right.$，若函數(shù)f（x）的圖象上存在兩點A、B滿足OA⊥OB（O為坐標(biāo)原點），且線段AB的中點在y軸上．求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=f₁（x）+f₂（x）存在兩個極值點x₁、x₂，求證：g（x₁）+g（x₂）＞2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）不妨設(shè)A（t，aln（t+2）），B（-t，t²），利用OA⊥OB，再分離參數(shù)，即可求a的取值集合；
（Ⅱ）函數(shù)g（x）=f₁（x）+f₂（x）存在兩個極值點x₁、x₂，g′（x）=0，即2x²+4x+a=0在（-2，+∞）上存在兩個不等的實根，可得0＜a＜2，x₁+x₂=-2，x₁x₂=$\frac{a}{2}$，表示出g（x₁）+g（x₂），確定其單調(diào)性，即可證明g（x₁）+g（x₂）＞2．

解答 解：（Ⅰ）由題意，不妨設(shè)A（t，aln（t+2）），B（-t，t²）（t＞0）
∴OA⊥OB，
∴-t²+at²ln（t+2）=0，
∴a=$\frac{1}{ln（t+2）}$，
∵ln（t+2）∈（ln2，+∞），
∴a的取值集合為（0，$\frac{1}{ln2}$）；
（Ⅱ）g（x）=f₁（x）+f₂（x）=x²+aln（x+2），
∴g′（x）=$\frac{{2x}^{2}+4x+a}{x+2}$，
∵函數(shù)g（x）存在兩個極值點x₁、x₂，
∴g′（x）=0，即2x²+4x+a=0在（-2，+∞）上存在兩個不等的實根，
令p（x）=2x²+4x+a，
∴△=16-8a＞0且p（-2）＞0，
∴0＜a＜2，
∵x₁+x₂=-2，x₁x₂=$\frac{a}{2}$，
∴g（x₁）+g（x₂）=x₁²+aln（x₁+2）+x₂²+aln（x₂+2）
=（x₁+x₂）²-2x₁x₂+aln[x₁x₂+2（x₁+x₂）+4]=aln$\frac{a}{2}$-a+4
令q（x）=xln$\frac{x}{2}$-x+4，x∈（0，2），
∴q′（x）=ln$\frac{x}{2}$＜0，
∴q（x）在（0，2）上單調(diào)遞減，
∴2＜aln$\frac{a}{2}$-a+4，
∴g（x₁）+g（x₂）＞2．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查韋達定理，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．