Question

2．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²-a²x+3．
（Ⅰ）若a=2，求f（x）在[-1，2]上的最值；
（Ⅱ）若f（x）在（-$\frac{1}{2}$，1）上是減函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最值即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，得到關(guān)于a的不等式，求出a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=x³+2x²-4x+3，
∴f′（x）=3x²+4x-4，
令f′（x）=0，得 x=-2 或 x=$\frac{2}{3}$．                  （1分）
∵-2∉[-1，2]，
∴f（x）在[-1，2]上的最值只可能在f（-1），f（$\frac{2}{3}$），f（2）取得，（2分）
而f（-1）=8，f（$\frac{2}{3}$）=$\frac{41}{27}$，f（2）=11，           （3分）
∴f（x）_max=f（2）=11，f（x）_min=f（$\frac{2}{3}$）=$\frac{41}{27}$．             （4分）
（Ⅱ）f′（x）=（3x-a）（x+a），
①當(dāng)a＞0時(shí)，由f′（x）＜0，得-a＜x＜$\frac{a}{3}$，
所以f（x）在（-a，$\frac{a}{3}$）上單調(diào)遞減，         （6分）
則必有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{3}≥1}\\{-a≤-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，∴a≥3，            （7分）
②當(dāng)a＜0時(shí)，由f′（x）＜0，得$\frac{a}{3}$＜x＜-a，          （8分）
所以f（x）在（$\frac{a}{3}$，-a）上單調(diào)遞減，
必有$\left\{\begin{array}{l}{-a≥1}\\{\frac{a}{3}≤-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，∴a≤-$\frac{3}{2}$，     （10分）
③當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f（x）在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，不滿足f（x）在（-$\frac{1}{2}$，1）上是減函數(shù)，            （11分）
∴綜上，所求 a 的取值范圍為（-∞，$\frac{3}{2}$]∪[3，+∞）．                  （12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．