Question

19．用數(shù)學歸納法證明$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$≥$\frac{n}{2}$（n∈N^*），從“n=k（k∈N^*）”到“n=k+1”時，左邊需增加的代數(shù)式為（　�。�

• A． $\frac{1}{{2}^{k}+1}$
• B． $\frac{1}{{2}^{k+1}}$
• C． $\frac{1}{{2}^{k}+1}$+$\frac{1}{{2}^{k}+2}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}}$
• D． $\frac{1}{{2}^{k}}$+$\frac{1}{{2}^{k}+1}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}}$

Answer 1

分析 求出當n=k時，左邊的代數(shù)式，當n=k+1時，左邊的代數(shù)式，相減可得結果．

解答 解：當n=k時，左邊的代數(shù)式為$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{{2}^{K}}$
 當n=k+1時，左邊的代數(shù)式為$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{{2}^{K}}$+$\frac{1}{{2}^{k}+1}$+$\frac{1}{{2}^{k}+2}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}}$，
故用n=k+1時左邊的代數(shù)式減去n=k時左邊的代數(shù)式的結果為$\frac{1}{{2}^{k}+1}$+$\frac{1}{{2}^{k}+2}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}}$，
故選：C．

點評 本題考查用數(shù)學歸納法證明不等式，注意式子的結構特征，以及從n=k到n=k+1項的變化．