Question

13．已知$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$是兩個單位向量．
（1）若|3$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$|=3，試求|3$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|的值；
（2）若$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$的夾角為60°，試求向量$\overrightarrow{m}=2\overrightarrow{a}+\overrightarrow$與$\overrightarrow{n}$=2$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$的夾角．

Answer 1

分析 （1）直接把|3$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$|=3兩邊平方，求得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$的值，從而求出|3$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|的值即可；
（2）利用平面向量的數(shù)量積運算求得$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$，再求出|$\overrightarrow{m}$|，|$\overrightarrow{n}$|，代入數(shù)量積公式求得向量$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$的夾角即可．

解答 解：（1）∵|3$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$|=3，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$是兩個單位向量，
∴9${\overrightarrow{a}}^{2}$-12$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+4${\overrightarrow}^{2}$=9，∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\frac{1}{3}$，
∴${（3\overrightarrow{a}+\overrightarrow）}^{2}$=9${\overrightarrow{a}}^{2}$+6$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+${\overrightarrow}^{2}$=10+6×$\frac{1}{3}$=12；
∴|3$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|=$\sqrt{12}$=2$\sqrt{3}$．
（2）∵|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=1，cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=$\frac{1}{2}$，
∴$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）（2$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$）=3$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-2${\overrightarrow{a}}^{2}$+2${\overrightarrow}^{2}$=3$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\frac{3}{2}$，
|$\overrightarrow{m}$|=|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{{4\overrightarrow{a}}^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{+\overrightarrow}^{2}}$=$\sqrt{5+4×1×1×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{7}$，
|$\overrightarrow{n}$|=|2$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{{4\overrightarrow}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{+\overrightarrow{a}}^{2}}$=$\sqrt{5-2}$=$\sqrt{3}$，
∴cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{7}×\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{21}}{14}$，
故＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=arccos$\frac{\sqrt{21}}{14}$．

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積運算，考查了向量模的求法，考查計算能力，是中檔題．