Question

正△ABC的邊長為2，CD是AB邊上的高，E，F(xiàn)分別是AC和BC的中點（如圖（1））．現(xiàn)將△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B，如圖（2）．在圖（2）中：
（Ⅰ）求證：AB∥平面DEF
（Ⅱ）求多面體D-ABFE的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）要證明線面平行，在平面內(nèi)找到一條可能與已知直線平行的直線，觀察到平面BEF中三條已知直線中，EF可能與AB平行，故可以以此為切入點進行證明．
（Ⅱ）利用轉(zhuǎn)化法，通過大三棱錐的體積減去小三棱錐的體積即可求多面體D-ABFE的體積．

解答： 解（Ⅰ）如圖（2）：在△ABC中，由E、F分別是AC、BC的中點，所以EF∥AB，
又AB?平面DEF，EF?平面DEF，
∴AB∥平面DEF．---------（6分）
（Ⅱ）由直二面角A-DC-B知平面ADC⊥平面BCD，
又在正△ABC中，D為邊AB中點，AD⊥CD
所以AD⊥平面BCD，---------（9分）
V三棱錐A-BCD=

1

3

•S△BCD•AD=

3

6

，
V三棱錐E-FCD=

1

3

•

1

2

S△BCD•

1

2

AD=

3

24

，
所以，多面體D-ABFE的體積V=V_{三棱錐A-BCD}-V三棱錐E-FCD=

3

8

．-----（12分）

點評：本題考查的知識點是空間中直線與平面之間的位置關(guān)系，幾何體的體積是求法，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查線面平行的判定定理，是中檔題．