Question

15．已知可導函數(shù)f（x）的導函數(shù)f′（x）滿足f′（x）＞f（x），則不等式$\frac{f（x）}{e^x}＞\frac{f（1）}{e}$的解集是（1，+∞）．

Answer 1

分析 由此想到構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，求導后結(jié)合f'（x）＞f（x），可知函數(shù)g（x）是實數(shù)集上的增函數(shù)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性可求得不等式的解集

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，
則g′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$，
因為f'（x）＞f（x），
所以g′（x）＞0，
所以，函數(shù)g（x）為（-∞，+∞）上的增函數(shù)，
由ef（x）＞f（1）e^x，得：，即g（x）＞g（1），
因為函數(shù)不等式$\frac{f（x）}{e^x}＞\frac{f（1）}{e}$，
所以g（x）＞g（1），
所以，x＞1．
故答案為（1，+∞）．

點評 本題考查了導數(shù)的運算法則，考查了不等式的解法，解答此題的關(guān)鍵是聯(lián)系要求解的不等式，構(gòu)造出函數(shù)，然后利用導數(shù)的運算法則判斷出其導函數(shù)的符號，得到該函數(shù)的單調(diào)性．此題是中檔題．