Question

8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，己知橢圓$\frac{x^2}{2}+{y^2}$=1的右焦點(diǎn)F，直線x=-2，過F的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)（AB與x軸不垂直），線段的垂直平分線分別交直線L和AB于點(diǎn)P、C．若PC=2AB，求直線AB的方程．

Answer 1

分析 討論直線AB的斜率不存在和存在，設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，以及兩直線垂直的條件和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，即可得到所求直線的方程．

解答 解：當(dāng)AB⊥x軸，AB=$\sqrt{2}$，CP=3，不合題意；
當(dāng)AB與x軸不垂直，設(shè)直線AB：y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
將AB方程代入橢圓方程可得（1+2k²）x²-4k²x+2（k²-1）=0，
則x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2（{k}^{2}-1）}{1+2{k}^{2}}$，
則C（$\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，$\frac{-k}{1+2{k}^{2}}$），
且|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}（1+{k}^{2}）}{1+2{k}^{2}}$，
若k=0，則AB的垂直平分線為y軸，與左準(zhǔn)線平行，不合題意；
則k≠0，故PC：y+$\frac{k}{1+2{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}$（x-$\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$），P（-2，$\frac{2+5{k}^{2}}{k（1+2{k}^{2}）}$），
從而|PC|=$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$|x_C-x_P|=$\frac{2（3{k}^{2}+1）\sqrt{1+{k}^{2}}}{|k|（1+2{k}^{2}）}$，
由|PC|=2|AB|，可得$\frac{2（3{k}^{2}+1）\sqrt{1+{k}^{2}}}{|k|（1+2{k}^{2}）}$=$\frac{4\sqrt{2}（1+{k}^{2}）}{1+2{k}^{2}}$，
解得k=±1，
此時(shí)AB的方程為y=x-1或y=-x+1．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查方程的運(yùn)用，聯(lián)立直線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，同時(shí)考查兩直線垂直和中點(diǎn)坐標(biāo)公式的運(yùn)用，屬于中檔題．