Question

3．雙曲線(xiàn)C的兩漸近線(xiàn)為l₁，l₂，過(guò)右焦點(diǎn)F作FB∥l₁且交l₂于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)B作BA⊥l₂且交l₁于點(diǎn)A．若AF⊥x軸，則雙曲線(xiàn)C的離心率為（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{6}}{2}$
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0），漸近線(xiàn)方程為l₁：y=$\frac{a}$x，l₂：y=-$\frac{a}$x，由x=c代入l₁的方程可得A的坐標(biāo)；由兩直線(xiàn)平行的條件可得直線(xiàn)FB的方程，聯(lián)立直線(xiàn)l₂的方程可得B的坐標(biāo)，再由BA⊥l₂，運(yùn)用直線(xiàn)的斜率公式和垂直的條件：斜率之積為-1，結(jié)合離心率公式計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0），
漸近線(xiàn)方程為l₁：y=$\frac{a}$x，l₂：y=-$\frac{a}$x，
由題意可設(shè)F（c，0），由AF⊥x軸，
令x=c，代入l₁的方程可得y=$\frac{bc}{a}$，
即有A（c，$\frac{bc}{a}$），
過(guò)右焦點(diǎn)F作FB∥l₁且交l₂于點(diǎn)B，
由FB的方程y=$\frac{a}$（x-c），聯(lián)立直線(xiàn)l₂：y=-$\frac{a}$x，
解得B（$\frac{c}{2}$，-$\frac{bc}{2a}$），
再由BA⊥l₂，可得k_AB=$\frac{a}$，
即有$\frac{\frac{bc}{a}-（-\frac{bc}{2a}）}{c-\frac{c}{2}}$=$\frac{a}$，
化為a²=3b²，由b²=c²-a²，可得：
c²=$\frac{4}{3}$a²，由e=$\frac{c}{a}$可得e=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線(xiàn)的離心率的求法，注意運(yùn)用雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程，直線(xiàn)平行和垂直的條件，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．