Question

已知函數(shù)y=f（x）滿足以下條件：①定義在正實數(shù)集上；②f（

1

2

）=2；③對任意實數(shù)t，都有f（x^t）=t•f（x）（x∈R⁺）．
（1）求f（1），f（

1

4

）的值；
（2）求證：對于任意x，y∈R⁺，都有f（x•y）=f（x）+f（y）；
（3）若不等式f（log_a（x-3a）-1）-f（-loga2

x-a

）≥-4對x∈[a+2，a+

9

4

]恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,抽象函數(shù)及其應用

專題：計算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應用,不等式的解法及應用

分析：（1）令t=0，即可得到f（1），再令x=

1

2

，t=2，即可得到；
（2）設0＜a＜1，由于x，y＞0，存在m，n，使x=a^m，y=aⁿ，代入計算即可得證；
（3）運用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，證得f（x）在x＞0上遞減．由條件結(jié)合對數(shù)的真數(shù)大于0，解得，a＞

3

4

；由log_a（x-3a）+log_a（x-a）≤1，等價為log_a（x²-4ax+3a²）≤1．令g（x）=log_a（x²-4ax+3a²），根據(jù)g（x）的單調(diào)性，即可得到a的范圍．

解答： （1）解：令t=0，則f（x⁰）=0•f（x）=0，即f（1）=0；
由f（

1

2

）=2，則f（

1

4

）=2f（

1

2

）=4；
（2）證明：設0＜a＜1，由于x，y＞0，存在m，n，使x=a^m，y=aⁿ，
f（xy）=f（a^maⁿ）=f（a^m+n）=（m+n）f（a），
f（x）+f（y）=f（a^m）+f（aⁿ）=mf（a）+nf（a）=（m+n）f（a）．
則有f（xy）=f（x）+f（y）；
（3）解：先證f（x）在x＞0上遞減．
由于f（x）=f（(

1

2

)log

1

2

x）=log

1

2

x•f（

1

2

）=2log

1

2

x，則f（x）在x＞0上遞減．
再求a的取值范圍，a＞0，a≠1，
又不等式f（log_a（x-3a）-1）-f（-loga2

x-a

）≥-4對x∈[a+2，a+

9

4

]恒成立，
則x-3a＞0，x-a＞0，對x∈[a+2，a+

9

4

]恒成立，a+2-3a＞0，且a+2-a＞0，
則0＜a＜1，在x＞0上，log_a（x-3a）-1＞0，即x-3a＜a，對x∈[a+2，a+

9

4

]恒成立，
則有a+

9

4

＜4a，解得，a＞

3

4

；
-log_a

x-a

＞0，即x-a＞1，對x∈[a+2，a+

9

4

]恒成立，a+2-a＞1恒成立．
由（2）中令x=

1

4

，y=4，則f（1）=f（

1

4

）+f（4），f（4）=-4，
f（log_a（x-3a）-1）≥f（4）+f（-

1

4

log_a（x-a））=f（-log_a（x-a）），
由于f（x）在x＞0上遞減，則log_a（x-3a）+log_a（x-a）≤1，等價為loga（x²-4ax+3a²）≤1．
由0＜a＜1，則x=2a在[a+2，a+

9

4

]的左側(cè)，
令g（x）=log_a（x²-4ax+3a²），g（x）在[a+2，a+

9

4

]遞減，
g（x）_max=g（a+2）≤1，即log_a（4-4a）≤1，即4-4a≥a，
解得，a≤

4

5

．
綜上，可得，

3

4

＜a≤

4

5

．

點評：本題考查抽象函數(shù)及運用，考查賦值法求函數(shù)值，以及換元法的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性及運用，考查不等式的恒成立思想轉(zhuǎn)化為求最值，屬于中檔題和易錯題．