Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ），其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

，已知的最小正周期是π，最小值為-3，且f（0）=

3

2

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求不等式f（x）≥

3 3

2

的解集；
（3）如何由f（x）的圖象得到函數(shù)y=sin4x的圖象？

Answer 1

考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由函數(shù)的圖象的頂點坐標(biāo)求出A，由周期求出ω，由特殊點的坐標(biāo)求出φ的值，可得函數(shù)的解析式．
（2）由不等式可得sin（2x+

π

6

）≥

3

2

，令 2kπ+

π

3

≤2x+

π

6

≤2kπ+

2π

3

，k∈z，求出x的范圍，即為所求．
（3）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．

解答： 解：（1）對于函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ），由函數(shù)的最小正周期是

2π

ω

=π，可得ω=2．
根據(jù)函數(shù)的最小值為-3，可得A=3．由f（0）=3sinφ=

3

2

，可得 sinφ=

1

2

，
再結(jié)合0＜φ＜

π

2

，可得φ=

π

6

，故函數(shù)的解析式為f(x)=3sin(2x+

π

6

)．
（2）由不等式f（x）≥

3 3

2

可得，sin（2x+

π

6

）≥

3

2

，令 2kπ+

π

3

≤2x+

π

6

≤2kπ+

2π

3

，k∈z，
求得 kπ+

π

12

≤x≤kπ+

π

4

，故不等式的解集為 {x|kπ+

π

12

≤x≤kπ+

π

4

，k∈Z}．
（3）把f（x）的圖象向右平移

π

12

個單位，可得y=3sin[2（x-

π

12

）+

π

6

]=3sin2x的圖象，
再把素的圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?span id="ca1v626" class="MathJye">

1

2

倍，可得函數(shù)y=sin4x的圖象．

點評：本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，三角不等式的解法，屬于及撤退．