Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，且PB與底面ABCD所成的角為45°，E為PB的中點，過A，E，D三點的平面記為α，PC與α的交點為Q．
（Ⅰ）試確定Q的位置并證明；
（Ⅱ）求四棱錐P-ABCD被平面α分成上下兩部分的體積比．
（Ⅲ）若PA=2，截面AEQD的面積為3，求平面α與平面PCD所成的二面角的正切值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：

分析：（Ⅰ）利用線面平行和線線平行之間的轉化求出結論．
（Ⅱ）利用線面的垂直，進一步算出錐體的體積運算求出比值．
（Ⅲ）通過做出二面角的平面角求出相關的量，進一步解直角三角形求得結果．

解答： 解：（Ⅰ）Q為PC的中點．
理由證明如下：因為AD∥BC，AB?平面PBC，故AD∥平面PBC．
又由于平面α∩平面PBC=EQ，故AD∥EQ．
所以：BC∥EQ．
又E為PB的中點，故Q為PC的中點．
（Ⅱ）如圖連接EQ，DQ，
因為：PA⊥平面ABCD，所以PB與平面ABCD所成的角為∠PBA=45°
故：PA=AB
又因為：E為PB的中點，
所以PE⊥AE．
因為四邊形ABCD是矩形，所以AD⊥AB．
又PA⊥平面ABCD
得到：AD⊥PA，又PA∩AB=A
故：PE⊥平面α
設：PA=h，AD=2a，四棱錐P-ABCD被平面α所分成的上下兩部分分別為V₁和V₂
則：EQ=a
又因為AD⊥平面PAB，所以AD⊥AE．
V上=

1

3

•PE•SAEQD=

1

3

2

2

h•

1

2

(a+2a)

2

2

h=

a

4

h2
V下=

1

3

PA•SABCD-V上=

5

12

ah2

V上

V下

=

3

5

（Ⅲ）過E作EF⊥DQ，連接PF，
因為PE⊥平面α，所以PE⊥DF
又由于EF∩PE=E，所以DF⊥平面PEF，
則：DF⊥PF
所以：∠PFE是平面α和平面PCD所成的二面角．
因為：PA=2，即h=2，截面AEQD的面積為3．
所以：SAEQD=

1

2

(a+2a)

2

2

h=3
解得：a=

2

又因為：AD∥EQ，且EQ=

1

2

AD，
故：S△EQD=

1

3

SAEQD=1
QD=

(AD-QE)2+AE2

=2
又S△EQD=

1

2

EF•DQ=1
解得：EF=1．
PE=

1

2

PB=

2

在直角三角形PEF中，tan∠PFE=

PE

EF

=

2

即：平面α與平面PCD所成的二面角的正切值為

2

．

點評：本題考查的知識要點：線面的垂直和平行問題，錐體的體積，二面角的平面角的應用．屬于中等題型．