Question

（Ⅰ）在極坐標系內(nèi)，已知曲線C₁的方程為ρ²-2ρ（cosθ-2sinθ）+4=0，以極點為原點，極軸方向為x正半軸方向，利用相同單位長度建立平面直角坐標系，曲線C₂的參數(shù)方程為

5x=1-4t 5y=18+3t

（t為參數(shù)）．
（1）求曲線C₁的直角坐標方程以及曲線C₂的普通方程；
（2）設點P為曲線C₂上的動點，過點P作曲線C₁的切線，求這條切線長的最小值．
（Ⅱ）已知f（x）=m-|x-2|，且不等式f（x+2）≥0解集為[-1，1]．
（1）求正實數(shù)m的大�。�
（2）已知a，b，c∈R，且

1

a

+

1

2b

+

1

3c

=m，求a+2b+3c的最小值．

Answer 1

考點：一般形式的柯西不等式,參數(shù)方程化成普通方程

專題：不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）（1）參數(shù)方程、極坐標化為直角坐標方程，可得結(jié)論．
（2）根據(jù)圓的切線性質(zhì)、點到直線的距離公式求得這條切線長的最小值．
（Ⅱ）（1）由條件可得|x|≤m，求得-m≤x≤m．再根據(jù)f（x+2）≥0的解集是[-1，1]，求得m的值．
（2）由（1）知

1

a

+

1

2b

+

1

3c

=1，a，b，c∈R₊，由柯西不等式求得a+2b+3c的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）（1）對于曲線C₁的方程為ρ²-2ρ（cosθ-2sinθ）+4=0，
可化為直角坐標方程x²+y²-2x+4y+4=0，即（x-1）²+（y+2）²=1；
對于曲線C₂的參數(shù)方程為

5x=1-4t 5y=18+3t

（t為參數(shù)），可化為普通方程3x+4y-15=0．
（2）過圓心（1，-2）點作直線3x+4y-15=0的垂線，此時切線長最小，
則由點到直線的距離公式可知，d=

|3×1+4×(-2)-15|

32+42

=4，則切線長為

16-1

=

15

．
（Ⅱ）（1）因為f（x+2）=m-|x|≥0，所以|x|≤m，所以m≥0，-m≤x≤m．
又f（x+2）≥0的解集是[-1，1]，故m=1．
（2）由（1）知

1

a

+

1

2b

+

1

3c

=1，a，b，c∈R₊，由柯西不等式得a+2b+3c=(a+2b+3c)(

1

a

+

1

2b

+

1

3c

)≥(1+1+1)2=9．
∴a+2b+3c的最小值為9．

點評：本題主要考查把參數(shù)方程、極坐標化為直角坐標方程的方法，圓的切線性質(zhì)，點到直線的距離公式，柯西不等式的應用，屬于基礎(chǔ)題．