Question

已知f（x）=a+

2

2x+1

（a∈R），設(shè)f（x）是奇函數(shù)
（1）求a的值；
（2）證明f（x）在R上是減函數(shù)；
（3）證明-1＜f（x）＜1．

Answer 1

考點：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)f（x）是奇函數(shù)，所以f（-x）=-f（x），這樣便可得到

(a+2)•2x+a

2x+1

=

-a•2x-a-2

2x+1

，所以得到（2a+2）•2^x=-（2a+2），所以得到2a+2=0，a=-1；
（2）通過求f′（x），并可判斷f′（x）＜0，從而得到f（x）在R上是減函數(shù)；
（3）由2^x＞0，便可得到0＜

1

2x+1

＜1，0＜

2

2x+1

＜2，從而便得到-1＜-1+

2

2x+1

＜1，所以-1＜f（x）＜1．

解答： 解：（1）f（-x）=a+

2

2-x+1

=a+

2•2x

2x+1

=

(a+2)•2x+a

2x+1

；
-f(x)=-a-

2

2x+1

=

-a•2x-a-2

2x+1

；
∵f（x）是奇函數(shù)；
∴f（-x）=-f（x）；
∴（a+2）•2^x+a=-a•2^x-a-2；
∴（2a+2）•2^x=-（2a+2）；
若2a+2≠0，則2^x=-1，顯然不可能；
∴2a+2=0，a=-1；
（2）證明：f（x）=-1+

2

2x+1

，f′（x）=-

2•2xln2

(2x+1)2

＜0；
∴f（x）在定義域R上是減函數(shù)；
（3）證明：2^x＞0，∴2^x+1＞1；
∴0＜

2

2x+1

＜2；
∴-1＜-1+

2

2x+1

＜1；
即-1＜f（x）＜1．

點評：考查奇函數(shù)的概念，指數(shù)函數(shù)的值域，以及通過求導(dǎo)并判斷導(dǎo)數(shù)符號的方法證明函數(shù)單調(diào)性，由2^x的范圍得到-1+

2

2x+1

范圍的過程．