Question

2．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=1，且|k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow$|，（k＞0），令函數(shù)f（k）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$
（1）求f（k）的表達(dá)式（用k表示）
（2）求f（k）的最小值．

Answer 1

分析 （1）對(duì)|k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow$|兩邊平方，得出$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$與k的關(guān)系，
（2）利用基本不等式求出最小值．

解答 解：（1）∵|k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow$|，∴（k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）²=3（$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow$）²，即k²+2k$\overrightarrow{a}•$$\overrightarrow$+1=3-6k$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+3k²，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=$\frac{{k}^{2}+1}{4k}$．
∴f（k）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\frac{{k}^{2}+1}{4k}$．
（2）∵k＞0，∴f（k）=$\frac{{k}^{2}+1}{4k}$=$\frac{k}{4}$+$\frac{1}{4k}$≥2$\sqrt{\frac{k}{4}•\frac{1}{4k}}$=$\frac{1}{2}$．當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{k}{4}$=$\frac{1}{4k}$，即k=$\frac{1}{4}$時(shí)，取等號(hào)．
∴f（k）的最小值是$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．