Question

14．下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y（噸標準煤）的幾組對照數(shù)據(jù)．

x	3	4	5	6
y	2.5	m	4	4.5

已知y關(guān)于x的線性回歸方程為$\widehat{y}$=0.7x+0.35，根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，
（1）求表中實數(shù)m的值；                
（2）求樣本點的中心坐標；
（3）若該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標準煤，試預(yù)測技改后生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標準煤？

Answer 1

分析 （1）求出樣本中心點代入，求出m的值；
（2）根據(jù)上一問，求樣本點的中心坐標；
（3）把x=100代入線性回歸方程，預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低標準煤的數(shù)量．

解答 解：（1）$\overline x=\frac{3+4+5+6}{4}=4.5$，…（1分）
$\overline y=\frac{2.5+m+4+4.5}{4}$，…（2分）
由線性回歸方程$\widehaty=\widehatbx+\widehata$，知$\widehatb=0.7$，$\widehata=0.35$，…（3分）
∵$\widehata=\overline y-\widehatb\overline x$，∴$0.35=\frac{2.5+m+4+4.5}{4}-0.7×4.5$，…（5分）
解得m=3．…（7分）
（2）$\overline y=\frac{2.5+m+4+4.5}{4}=\frac{2.5+3+4+4.5}{4}=3.5$，…（8分）
∴樣本點的中心坐標為：（4.5，3.5）．…（10分）
（3）將x=100代入y=0.7x+0.35，得y=0.7×100+0.35=70.35，…（13分）
∴預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低90-70.35=19.65（噸）．…（14分）

點評 本題考查線性回歸方程的求法和應(yīng)用，本題是非常符合新課標中對于線性回歸方程的要求，注意通過這個題目掌握一類問題，注意數(shù)字的運算．