Question

20．設直線x-3y+m=0（m≠0）與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線分別交于點A，B，若點P（-m，0）滿足|PA|=|AB|，則該雙曲線的漸近線方程為y=±x．

Answer 1

分析 先求出A，B的坐標，可得AB中點坐標，利用點P（-m，0）滿足|PA|=|PB|，可得$\frac{\frac{3m^{2}}{9^{2}-{a}^{2}}-0}{\frac{m{a}^{2}}{9^{2}-{a}^{2}}+m}$=-3，從而可求雙曲線的漸近線方程．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，則
與直線x-3y+m=0聯(lián)立，可得A（$\frac{ma}{3b-a}$，$\frac{mb}{3b-a}$），B（-$\frac{ma}{3b+a}$，$\frac{mb}{3b+a}$），
∴AB中點坐標為（$\frac{m{a}^{2}}{9^{2}-{a}^{2}}$，$\frac{3m^{2}}{9^{2}-{a}^{2}}$），
∵點P（-m，0）滿足|PA|=|PB|，
∴$\frac{\frac{3m^{2}}{9^{2}-{a}^{2}}-0}{\frac{m{a}^{2}}{9^{2}-{a}^{2}}+m}$=-3，
∴a=b，
∴雙曲線的漸近線方程為y=±x．
故答案為：y=±x．

點評 本題考查雙曲線的漸近線方程，考查直線與雙曲線的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．