Question

10．在正四面體ABCD中，M，N分別是BC和DA的中點，則異面直線MN和CD所成角為$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 取AC中點O，連結(jié)AM、DM、OM、ON，則∠MNO是異面直線MN和CD所成角（或所成角的補角），由此能求出異面直線MN和CD所成角．

解答 解：如圖，取AC中點O，連結(jié)AM、DM、OM、ON，
設(shè)正四面體ABCD的棱長為2，
∵M，N分別是BC和DA的中點，
∴AM=DM=$\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$，MN=$\sqrt{3-1}=\sqrt{2}$，
MN$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}AB$=1，NO$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}DC$=1，
∴∠MNO是異面直線MN和CD所成角（或所成角的補角），
cos∠MNO=$\frac{M{N}^{2}+N{O}^{2}-O{M}^{2}}{2•MN•NO}$=$\frac{2+1-1}{2•\sqrt{2}•1}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠MNO=$\frac{π}{4}$．
∴異面直線MN和CD所成角為$\frac{π}{4}$．
故答案為：$\frac{π}{4}$．

點評 本題考查異面直線所成角的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．