Question

已知函數(shù)f（x）=asinx•cosx-

3

acos²x+

3

2

a+b（a＞0）
（1）當(dāng)a=2，b=0時(shí)，寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）設(shè)x∈[0，

π

2

]，若f（x）的最小值是-2，最大值是

3

，求實(shí)數(shù)a，b的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用二倍角公式和兩角和公式對(duì)函數(shù)解析式化簡(jiǎn)，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間．
（2）利用二倍角公式和兩角和公式對(duì)函數(shù)解析式化簡(jiǎn)，根據(jù)x的范圍和正弦函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)的最大和最小值的表達(dá)式，列方程求得a和b．

解答： 解：（1）f（x）=2sinxcosx-2

3

cos²x+

3

=sin2x-

3

cos2x=2sin（2x-

π

3

），
由2kπ+

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

3π

2

，解得kπ+

5

12

≤x≤kπ+

5π

6

，k∈Z，
∴函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為[kπ+

5

12

，kπ+

5π

6

]（k∈Z）．
（2）f（x）=a（

1

2

sin2x-

3

2

cos2x）+b=asin（2x-

π

3

）+b，
∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，
∴sin（2x-

π

3

）∈[-

3

2

，1]，
∴

a+b= 3 - 3 a 2 +b=-2

或

a+b=-2 - 3 2 a+b= 3

，
求得a=2，b=

3

-2，或a=-2，a=

3

+2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)圖象與性質(zhì)．第2問中注意對(duì)a大于0和a小于0分情況求解．