Question

9．（文科學(xué)生做）設(shè)命題p：函數(shù)f（x）=x³+ax²+ax是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，命題q：|a-1|≤m（m＞0）．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，判斷命題p的真假，并說明理由；
（2）若q是p的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求導(dǎo)，再根據(jù)判別式即可求出a的范圍，問題得以解決，
（2）解絕對(duì)值不等式根據(jù)q是p的充分不必要條件，得到$\left\{\begin{array}{l}{1-m≥0}\\{1+m≤3}\\{m＞0}\end{array}\right.$，解得即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=x³+ax²+ax是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，
∴f′（x）=3x²+2ax+a≥0，
∴△=4a²-12a≤0，
解得0≤a≤3，
∴當(dāng)a=1時(shí)，命題p為真命題，
（2）由|a-1|≤m，（m＞0），
解得1-m≤a≤1+m，
∵q是p的充分不必要條件，
∴q⇒p，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-m≥0}\\{1+m≤3}\\{m＞0}\end{array}\right.$，
解得0＜m≤1．
又當(dāng)m=1時(shí)，p≠q，
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為（0，1]

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性和的參數(shù)的取值范圍，以及充分不必要條件和絕對(duì)值不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．