Question

20．已知集合A={1，2}，B={1，2，…，4n}（n∈N^*），設(shè)C={（x，y）|x整除y或y整除x，x∈A，y∈B}，令f（n）表示集合C所含元素的個數(shù)．
（1）求f（1），f（2），f（3）的值；
（2）由（1）猜想f（n）的表達式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）列舉出所有符合條件的元素，
（2）驗證n=1時猜想是否成立，假設(shè)n=k時猜想成立，則n=k+1時，C中多出的元素是可數(shù)的，即可驗證n=k+1時，猜想是否成立．

解答 解：（1）當n=1時，C={（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，2），（2，4），（2，1）}，
∴f（1）=7；
當n=2時，C={（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（1，7），（1，8），（2，2），（2，4），（2，6），（2，8），（2，1）}，∴f（2）=13；
當n=3時，C={（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（1，7），（1，8），（1，9），（1，10），（1，11），（1，12），（2，2），（2，4），（2，6），（2，8），（2，10），（2，12），（2，1）}，
∴f（3）=19．
（2）猜想：f（n）=6n+1． 
①當n=1時，由（1）知f（1）=7=6×1+1，結(jié)論成立；   
②假設(shè)當n=k（k≥1，k∈N^*）時，結(jié)論成立，即f（k）=6k+1，
那么當n=k+1時，C中新增加的元素為（1，4k+1），（1，4k+2），（1，4k+3），（1，4k+4），（2，4k+2），（2，4k+4），
所以f（k+1）=f（k）+4+2=6k+1+6=6（k+1）+1，
所以當n=k+1時，結(jié)論也成立．
根據(jù)①和②可知，f（n）=6n+1當n∈N^*時都成立．

點評 本題考查了數(shù)學(xué)歸納法的證明，掌握證明步驟，發(fā)現(xiàn)n=k與n=k+1時的聯(lián)系是證明的關(guān)鍵．