Question

4．設(shè)函數(shù)f（x）=x²+x-alnx，則a＜3是函數(shù)f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增的充分不必要條件．（選填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）

Answer 1

分析 通過已知條件，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，轉(zhuǎn)化導(dǎo)數(shù)大于等于0恒成立，得到a的表達(dá)式，求出a≤3，只要在a≤3范圍上取一段區(qū)間或一個點，都是這個命題成立的充分不必要條件．

解答 解：∵f（x）=x²+x-alnx在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)，
∴f′（x）=2x+1-$\frac{a}{x}$≥0，在[1，+∞）上恒成立，
∴a≤2x²+x，
由y=2x²+x在[1，+∞）為增函數(shù)，
∴y_min=3，
∴a≤3，
只要在a≤3范圍上取一段區(qū)間或一個點，都是這個命題成立的充分不必要條件，
則a＜3是函數(shù)f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增的充分不必要條件．
故答案為：充分不必要

點評 本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，考查條件問題，解題的關(guān)鍵是先寫出函數(shù)成立的充要條件，再從充要條件中選一段或一個點，得到結(jié)果．