Question

1．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1的漸近線上的一點A到其右焦點F的距離等于2，拋物線y²=2px（p＞0）過點A，則該拋物線的方程為（　�。�

• A． y²=2x
• B． y²=x
• C． y²=$\frac{1}{2}$x
• D． y²=$\frac{1}{4}$x

Answer 1

分析 求出雙曲$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1的漸近線方程，F(xiàn)點的坐標，利用|AF|=2，求出A的坐標，代入y²=2px，求出p，即可求出拋物線的方程．

解答 解：∵雙曲線$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1的漸近線方程為y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
其中a=$\sqrt{3}$，b=1，則c=2，F(xiàn)點坐標為（2，0），
設A點橫坐標為x，（x≠0），則y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
由|AF|=2得$\sqrt{（x-2）^{2}+（±\frac{\sqrt{3}}{3}x）^{2}}$=2，
即$\frac{4}{3}$x²-4x=0，得x=3，
∴y=±$\sqrt{3}$，代入y²=2px得3=6p，
即p=$\frac{1}{2}$，所以，y²=x
故選：B．

點評 本題考查拋物線方程，考查雙曲線的性質(zhì)，考查學生的計算能力，根據(jù)兩點間的距離公式求出A的坐標是關鍵．