Question

14．曲線的ρ=sinθ-3cosθ-1直角坐標方程為x⁴+y⁴+2x²y²+2$（{x}^{2}+{y}^{2}）^{\frac{3}{2}}$-8x²+6xy=0．

Answer 1

分析 由ρ=sinθ-3cosθ-1可得：ρ²=ρsinθ-3ρcosθ-ρ，即ρ²+ρ=ρsinθ-3ρcosθ，兩邊平方可得：ρ⁴+ρ²+2ρ³=（y-3x）²，代入化簡即可得出．

解答 解：由ρ=sinθ-3cosθ-1可得：ρ²=ρsinθ-3ρcosθ-ρ，
即ρ²+ρ=ρsinθ-3ρcosθ，兩邊平方可得：ρ⁴+ρ²+2ρ³=（y-3x）²，
可得直角坐標方程：（x²+y²）²+x²+y²+2$（{x}^{2}+{y}^{2}）^{\frac{3}{2}}$=y²+9x²-6xy．
化為：x⁴+y⁴+2x²y²+2$（{x}^{2}+{y}^{2}）^{\frac{3}{2}}$=8x²-6xy．
故答案為：x⁴+y⁴+2x²y²+2$（{x}^{2}+{y}^{2}）^{\frac{3}{2}}$-8x²+6xy=0．

點評 本題考查了極坐標與直角坐標方程的互化，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．