Question

18．已知拋物線C：x${\;}^{2}=\frac{1}{2}y$，直線y=kx+2交C于M、N兩點，Q是線段MN的中點，過Q作x軸的垂線交C于點T．
（1）證明：拋物線C在點T處的切線與MN平行；
（2）是否存在實數(shù)k使$\overrightarrow{TM}•\overrightarrow{TN}=0$，若存在，求k的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（x₀，y₀），聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=2{x}^{2}}\\{y=kx+2}\end{array}\right.$，得2x²-kx-2=0，由此利用韋達定理、導數(shù)性質(zhì)能證明拋物線C在T點處的切線與MN平行．
（2）求出T（$\frac{k}{4}，\frac{{k}^{2}}{8}$），由此利用向量的數(shù)量積公式和韋達定理能求出存在k=±2，滿足$\overline{TM}•\overline{TN}$=0．

解答 （本小題滿分12分）
證明：（1）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（x₀，y₀），…（1分）
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=2{x}^{2}}\\{y=kx+2}\end{array}\right.$，得2x²-kx-2=0，…（2分）
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{k}{2}$，x₁x₂=-1，…（3分）
∴${x}_{0}=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=\frac{k}{4}$，…（4分）
∵y=2x²，∴${{y}^{'}|}_{x={x}_{0}}^{\;}$=k，
∴拋物線C在T點處的切線與MN平行． …（6分）
解：（2）由（1）得T（$\frac{k}{4}，\frac{{k}^{2}}{8}$），…（7分）
則$\overrightarrow{TM}•\overrightarrow{TN}$=（${x}_{1}-\frac{k}{4}$）（${x}_{2}-\frac{k}{4}$）+（y₁-$\frac{{k}^{2}}{8}$）（${y}_{2}-\frac{{k}^{2}}{8}$）                                         
=（k²+1）x₁x₂+（$\frac{7}{4}k-\frac{{k}^{3}}{8}$）（x₁+x₂）+$\frac{{k}^{2}}{16}+（2-\frac{{k}^{2}}{8}）^{2}$…（9分）
=-$\frac{3}{63}（{k}^{2}-4）（{k}^{2}+16）$=0，…（11分）
解得k=±2，
∴存在k=±2，滿足$\overline{TM}•\overline{TN}$=0．…（12分）

點評 本題考查直線平行的證明，考查使得數(shù)量積為零的斜率是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意導數(shù)性質(zhì)、韋達定理、直線與圓錐曲線的位置關系的合理運用．