Question

13．已知等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=2ⁿ+k．
（1）求k的值及數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（2）求數(shù)列{$\frac{n}{{a}_{n}}$}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)公式${a_n}=\left\{\begin{array}{l}{S_1}，（{n=1}）\\{S_n}-{S_{n-1}}，（{n≥2}）\end{array}\right.$可求得a_n，因為數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，所以n=1時a₁也適合n≥2時a_n的解析式．從而可求得k．
（2）由（1）知$\frac{n}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，因為通項公式符合等差乘等比的形式，所以應(yīng)用錯位相減法求數(shù)列的和．

解答 解：（1）當(dāng)n=1時，a₁=S₁=2+k，（1分）
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（2ⁿ+k）-（2^n-1+k）=2^n-1，（3分）
又{a_n}為等比數(shù)列，∴a₁=2+k適合上式，
∴2+k=1，得k=-1，
此時a_n=2^n-1．（n∈N^*）．（5分）
（2）∵$\frac{n}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，
∴數(shù)列{$\frac{n}{{a}_{n}}$}的前n項和：
T_n=1+$\frac{2}{2}+\frac{3}{{2}^{2}}+…+\frac{n-1}{{2}^{n-2}}+\frac{n}{{2}^{n-1}}$，①
$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}+…+\frac{n-1}{{2}^{n-1}}+\frac{n}{{2}^{n}}$，②（ 8分）
①-②得：
$\frac{1}{2}$T_n=$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$，
∴T_n=4-$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$．（12分）

點評 本題考查數(shù)列有通項公式及前n項和的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意錯位相減法的合理運用．