Question

已知定義在R上的函數(shù)f(x)=

2x

a

-

a

2x

(a＞0)有一個零點為0．
（Ⅰ）求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）判斷f（x）的奇偶性；
（Ⅲ）判斷f（x）在（0，+∞）上的單調性，并用定義法證明．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（Ⅰ）根據函數(shù)零點的定義，建立方程即可求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）根據函數(shù)奇偶性的定義即可判斷f（x）的奇偶性；
（Ⅲ）根據函數(shù)單調性的定義即可判斷f（x）在（0，+∞）上的單調性．

解答： 解：（Ⅰ）定義在R上的函數(shù)f(x)=

2x

a

-

a

2x

(a＞0)有一個零點為0．
∴f（0）=0，
即f（0）=

1

a

-a=0，
∵a＞0，∴a=1．；
（Ⅱ）當a=1時，
f（x）=2^x-2^-x，
則f（-x）=2^-x-2^x=-（2^x-2^-x）=-f（x），
∴f（x）是奇函數(shù)；
（Ⅲ）f（x）在（0，+∞）上的單調遞增．
任意設0＜x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=2x1-2-x1-2x2+2-x2=(2x1-2x2)+

1

2x2

-

1

2x1

=(2x1-2x2)

2x12x2-1

2x12x2

，
∵0＜x₁＜x₂，
∴2x1-2x20，
∴f(x1)-f(x2)=(2x1-2x2)

2x12x2-1

2x12x2

＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）上的單調遞增．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調性的應用，利用函數(shù)奇偶性的定義和單調性的定義是解決本題的關鍵．