【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的焦距為4,且過點.
(1)求橢圓的方程
(2)設(shè)橢圓的上頂點為,右焦點為,直線與橢圓交于、兩點,問是否存在直線,使得為的垂心,若存在,求出直線的方程;若不存在,說明理由.
【答案】(1);(2)存在直線滿足題設(shè)條件,詳見解析
【解析】
(1)由已知列出關(guān)于,,的方程組,解得,,,寫出結(jié)果即可;
(2)由已知可得,,.所以,因為,所以可設(shè)直線的方程為,代入橢圓方程整理,得.設(shè),,,,由根與系數(shù)的關(guān)系寫出兩根之和和兩根之積的表達(dá)式,再由垂心的性質(zhì)列出方程求解即可.
(1)由已知可得,
解得,,,所以橢圓的方程為.
(2)由已知可得,,∴.∵,
∴可設(shè)直線的方程為,代入橢圓方程整理,
得.設(shè),
則,∵.
即
∵
即,∵
∴或.
由,得
又時,直線過點,不合要求,∴,
故存在直線滿足題設(shè)條件.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(,為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為,若直線與曲線相切;
(1)求曲線的極坐標(biāo)方程與直線的直角坐標(biāo)方程;
(2)在曲線上取兩點,與原點構(gòu)成,且滿足,求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度,進(jìn)行如下試驗:將200只小鼠隨機分成兩組,每組100只,其中組小鼠給服甲離子溶液,組小鼠給服乙離子溶液.每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經(jīng)過一段時間后用某種科學(xué)方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比.根據(jù)試驗數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖:
記為事件:“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于”,根據(jù)直方圖得到的估計值為.
(1)求乙離子殘留百分比直方圖中的值;
(2)分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表).
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【題目】判斷下列命題的真假.
(1)過一條直線的平面有無數(shù)多個;
(2)如果兩個平面有兩個公共點,那么它們就有無數(shù)多個公共點,并且這些公共點都在直線上;
(3)兩個平面的公共點組成的集合,可能是一條線段;
(4)兩個相交平面可能存在不在一條直線上的3個公共點.
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【題目】已知二次函數(shù)f(x)滿足f(0)=2,f(x)-f(x-1)=2x+1,求函數(shù)f(x2+1)的最小值.
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【題目】某貧困地區(qū)扶貧辦積極貫徹落實國家精準(zhǔn)扶貧的政策要求,帶領(lǐng)廣大農(nóng)村地區(qū)人民群眾脫貧奔小康.經(jīng)過不懈的奮力拼搏,新農(nóng)村建設(shè)取得巨大進(jìn)步,農(nóng)民年收入也逐年增加,為了更好的制定2019年關(guān)于加快提升農(nóng)民年收入力爭早日脫貧的工作計劃,該地扶貧辦隨機統(tǒng)計了2018年50位農(nóng)民的年收入并制成如下頻率分布直方圖:
(Ⅰ)根據(jù)頻率分布直方圖,估計50位農(nóng)民的年平均收入(單位:千元)(同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點值表示);
(Ⅱ)由頻率分布直方圖可認(rèn)為該貧困地區(qū)農(nóng)民年收入服從正態(tài)分布,其中近似為年平均收入,近似為樣本方差,經(jīng)計算得.利用該正態(tài)分布,求:
(i)在2018年脫貧攻堅工作中,該地區(qū)約有的農(nóng)民的年收入高于扶貧辦制定的最低年收入標(biāo)準(zhǔn),則最低年收入大約為多少千元?
(ii)為了調(diào)研“精準(zhǔn)扶貧,不落一人”的政策要求落實情況,扶貧辦隨機走訪了1000位農(nóng)民.若每個農(nóng)民的年收入相互獨立,問:這1000位農(nóng)民中的年收入不少于12.14千元的人數(shù)約為多少?
參考數(shù)據(jù):.若,則;;.
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【題目】已知動點滿足:
(Ⅰ)求動點的軌跡的方程;
(Ⅱ)設(shè)是軌跡上的兩個動點,線段的中點在直線上,線段的中垂線與交于兩點,是否存在點,使以為直徑的圓經(jīng)過點,若存在,求出點坐標(biāo),若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩位學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn),在培訓(xùn)期間,他們參加的5項預(yù)賽成績記錄如下:
(1)用莖葉圖表示這兩組數(shù)據(jù);
(2)從甲、乙兩人的成績中各隨機抽取一個,求甲的成績比乙高的概率;
(3)現(xiàn)要從中選派一人參加數(shù)學(xué)競賽,從統(tǒng)計學(xué)的角度考慮,你認(rèn)為選派哪位學(xué)生參加合適?說明理由.
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