Question

9．已知數(shù)列{a_n}是首項為1，公比為q的等比數(shù)列，S_n是它的前n項和，如果集合M={S|S=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{S}_{n}}{{S}_{2n}}$}，則集合M的子集的個數(shù)為7．

Answer 1

分析 分q=1和q≠1求出S_n和S_2n求得數(shù)列極限．對于q≠1時再分|q|＜1、|q|＞1分類求得數(shù)列極限．

解答 解：①當(dāng)q=1時，S_n=n，S_2n=2n，則$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{S}_{n}}{{S}_{2n}}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{n}{2n}$=$\frac{1}{2}$，
所以M={$\frac{1}{2}$}；
②當(dāng)q≠1時，S_n=$\frac{1-{q}^{n}}{1-q}$，S_2n=$\frac{1-{q}^{2n}}{1-q}$，則$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{S}_{n}}{{S}_{2n}}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{\frac{1-{q}^{n}}{1-q}}{\frac{1-{q}^{2n}}{1-q}}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1}{1+{q}^{n}}$．
i）當(dāng)|q|＜1時，$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{S}_{n}}{{S}_{2n}}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1}{1+{q}^{n}}$=1．
所以M={1}；
ii）當(dāng)|q|＞1時，$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{S}_{n}}{{S}_{2n}}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1}{1+{q}^{n}}$=0．所以M={0}；
綜上所述，所以M={$\frac{1}{2}$，0，1}，此時集合M的真子集有2³-1=7．
綜上所述，集合M的真子集有7個．
故答案是：7．

點評 本題考查了子集與真子集，等比數(shù)列的前n項和，數(shù)列極限的求法，訓(xùn)練了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．