Question

18．設(shè)函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx+cos²x+a
（1）當(dāng)x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]時，函數(shù)f（x）的最大值與最小值的和為$\frac{3}{2}$，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間與對稱軸方程；
（2）在（1）的條件下，把函數(shù)f（x）的圖象右平移$\frac{π}{6}$單位，再把橫坐標(biāo)擴大到原來的2倍，得到函數(shù)g（x），已知a，b，c分別△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊，且a，b，c成等比數(shù)列，角B為銳角，且g（B）=1，求$\frac{1}{tanB}$+$\frac{1}{tanC}$的值．

Answer 1

分析 （1）由三角函數(shù)公式化簡可得f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+a+$\frac{1}{2}$，由題意可得a的方程，解方程可得a=0，可得f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，易得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和對稱軸方程為；
（2）由圖象變換可得g（x）=sin（x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，由等比數(shù)列和余弦定理可得A=B=C=$\frac{π}{3}$，代值計算可得答案．

解答 解：（1）化簡可得f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx+cos²x+a
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1+cos2x}{2}$+a=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+a+$\frac{1}{2}$，
∵x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，∴2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）+a+$\frac{1}{2}$∈[a，a+$\frac{3}{2}$]，
∴a+a+$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$，解得a=0，
∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]（k∈Z），
由2x+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$可得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，
∴對稱軸方程為x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，k∈Z；
（2）把函數(shù)f（x）的圖象右平移$\frac{π}{6}$單位，再把橫坐標(biāo)擴大到原來的2倍，
得到函數(shù)g（x）=sin（x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$的圖象，
又a，b，c成等比數(shù)列，∴b²=ac，
又角B為銳角，且g（B）=sin（B-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$=1，
∴sin（B-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，∴B=$\frac{π}{3}$
由余弦定理可得ac=b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac，
∴（a-c）²=0，即a=c，∴A=C=$\frac{π}{3}$，
∴$\frac{1}{tanB}$+$\frac{1}{tanC}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$

點評 本題考查三角函數(shù)公式，涉及降冪公式和余弦定理以及數(shù)列的知識，屬中檔題．