Question

10．已知：點(diǎn)B（-2，0），C（2，0），動點(diǎn)M滿足k_MB•k_MC=1．
（1）求動點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（2）過點(diǎn)M分別作直線y=x與y=-x的平行線交兩直線于P、Q，求證：平行四邊形OPMQ的面積為定值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)M（x，y），求出MB，MC的斜率，根據(jù)條件列方程化簡即可開；
（2）設(shè)M（x，y），分別求出直線y=x和y=-x的平行線方程，聯(lián)立方程組解出P，Q的交點(diǎn)坐標(biāo)，得出|OP|，|OQ|，代入面積公式整理即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)M（x，y），則k_MB=$\frac{y}{x+2}$，k_MC=$\frac{y}{x-2}$．
∵k_MB•k_MC=1，∴$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-4}=1$，即$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
∴動點(diǎn)M的軌跡C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
（2）設(shè)M（a，b），則a²-b²=4．
過M與y=x平行的直線方程為y=x-a+b，
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=x-a+b}\\{y=-x}\end{array}\right.$，解得P（$\frac{a-b}{2}$，$\frac{b-a}{2}$），
同理可得Q（$\frac{a+b}{2}$，$\frac{a+b}{2}$）．
∴|OP|=$\frac{\sqrt{2}|a-b|}{2}$，|OQ|=$\frac{\sqrt{2}|a+b|}{2}$．
∴S_OPMQ=|OP|•|OQ|=$\frac{|{a}^{2}-^{2}|}{2}$=2．
∴平行四邊形OPMQ的面積為定值2．

點(diǎn)評 本題考查了軌跡方程的求解，直線的斜率與交點(diǎn)坐標(biāo)，屬于中檔題．