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16.已知函數(shù)f(x)=-1x2+4(x>0),在數(shù)列{an}中,a1=1,1an+1=-f(an),n∈N*,設(shè)bn=anan+1an+an+1,數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,則T20=2.

分析 由題意可得:1an+1=-f(an)=1a2n+4,化為1a2n+1-1a2n=4,利用等差數(shù)列的通項公式可得:1a2n=4n-3,an>0,可得:1an=4n3.于是bn=11an+1+1an=14n3+4n+1=4n+14n34,利用“裂項求和”方法即可得出.

解答 解:由題意可得:1an+1=-f(an)=1a2n+4,化為1a2n+1-1a2n=4,
∴數(shù)列{1a2n}是等差數(shù)列,首項為1,公差為4.
1a2n=1+4(n-1)=4n-3,
an>0,
1an=4n3
∴bn=anan+1an+an+1=11an+1+1an=14n3+4n+1=4n+14n34
∴數(shù)列{bn}的前n項和為Tn=14[51+95+…+4n+14n3]=144n+11
則T20=14811=2.
故答案為:2.

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式、遞推關(guān)系、“裂項求和”方法,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

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