Question

1．已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+2=1+$\frac{1}{{a}_{n}}$（n∈N^*），若a₂₀₁₄=a₂₀₁₆，則a₁₃+a₂₀₁₆=$\frac{21}{13}$+$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 各項均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+2=1+$\frac{1}{{a}_{n}}$（n∈N^*），a₂₀₁₄=a₂₀₁₆，可得a₂₀₁₆=1+$\frac{1}{{a}_{2014}}$，化簡解出a₂₀₁₄=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$=a₂₀₁₆．由a₁=1，a_n+2=1+$\frac{1}{{a}_{n}}$（n∈N^*），可得a₃=2，依此類推可得：a₁₃=$\frac{21}{13}$．即可得出．

解答 解：∵各項均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+2=1+$\frac{1}{{a}_{n}}$（n∈N^*），a₂₀₁₄=a₂₀₁₆，
∴a₂₀₁₆=1+$\frac{1}{{a}_{2014}}$，即a₂₀₁₄=1+$\frac{1}{{a}_{2014}}$，化為${a}_{2014}^{2}$-a₂₀₁₄-1=0，解得a₂₀₁₄=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$=a₂₀₁₆．
∵a₁=1，a_n+2=1+$\frac{1}{{a}_{n}}$（n∈N^*），∴a₃=2，a₅=$\frac{3}{2}$，a₇=$\frac{5}{3}$，a₉=$\frac{8}{5}$，a₁₁=$\frac{13}{8}$，a₁₃=$\frac{21}{13}$．
則a₁₃+a₂₀₁₆=$\frac{21}{13}$+$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．
故答案為：$\frac{21}{13}$+$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

點評 本題考查了遞推關(guān)系、方程的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．