Question

6．已知函數(shù)f（x）=ax+$\frac{x}$+c是奇函數(shù)，且滿足f（1）=$\frac{5}{2}$，f（2）=$\frac{17}{4}$．
（1）求a，b，c的值；
（2）試判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，$\frac{1}{2}$）上的單調(diào)性并證明．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)是奇函數(shù)得到c=0，再利用題中的2個(gè)等式求出a、b的值．
（2）區(qū)間（0，$\frac{1}{2}$）上任取2個(gè)自變量x₁、x₂，將對(duì)應(yīng)的函數(shù)值作差、變形到因式積的形式，判斷符號(hào)，依據(jù)單調(diào)性的定義做出結(jié)論．

解答 解：（1）∵f（-x）=-f（x）∴c=0，
∵$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=\frac{5}{2}}\\{f（2）=\frac{17}{4}}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b=\frac{5}{2}}\\{2a+\frac{2}=\frac{14}{4}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$；
（2）∵由（1）問可得f（x）=2x+$\frac{1}{2x}$，
∴f（x）在區(qū)間（0，0.5）上是單調(diào)遞減的；
證明：設(shè)任意的兩個(gè)實(shí)數(shù)0＜x₁＜x₂＜$\frac{1}{2}$，
∵f（x₁）-f（x₂）=2（x₁-x₂）+$\frac{1}{{2x}_{1}}$-$\frac{1}{{2x}_{2}}$=2（x₁-x₂）+$\frac{{{x}_{2}-x}_{1}}{{{2x}_{1}x}_{2}}$=$\frac{{（x}_{2}{-x}_{1}）（1-{{4x}_{1}x}_{2}）}{{{2x}_{1}x}_{2}}$，
又∵0＜x₁＜x₂＜$\frac{1}{2}$，
∴x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜$\frac{1}{4}$，1-4x₁x₂＞0，
f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x）在區(qū)間（0，0.5）上是單調(diào)遞減的．

點(diǎn)評(píng) 本題考查用待定系數(shù)法求解析式，證明函數(shù)的單調(diào)性．