Question

設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別為橢圓

x2

a2

+y²=1的左、右焦點，斜率為k的直線l經(jīng)過右焦點F₂，且與橢圓相交于A，B兩點，且△ABF₁的周長為4

2

．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）如果△ABF₁的重心在y軸上，求直線l的斜率k．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由△ABF₁的周長為4

2

，知4a=4

2

，由此能求出橢圓的方程．
（Ⅱ）直線l：y=k（x-1），聯(lián)立

y=k(x-1) x2 2 +y2=1

，得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，由此利用韋達(dá)定理、根的判別式和三角形重心坐標(biāo)公式能求出直線l的斜率．

解答： 解：（Ⅰ）∵F₁，F(xiàn)₂分別為橢圓

x2

a2

+y²=1的左、右焦點，
斜率為k的直線l經(jīng)過右焦點F₂，且與橢圓相交于A，B兩點，
且△ABF₁的周長為4

2

，
∴4a=4

2

，解得a=

2

，
∴橢圓的方程為

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）∵橢圓的方程為

x2

2

+y2=1，
∴F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），∴直線l：y=k（x-1），
聯(lián)立

y=k(x-1) x2 2 +y2=1

，得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=

4k2

1+2k2

，
△=16k⁴-4（1+2k²）（2k²-2）＞0，
∵△ABF₁的重心在y軸上，
∴x₁+x₂-1=

4k2

1+2k2

-1=0，
解得k=±

2

2

，滿足△＞0．
∴直線l的斜率k=±

2

2

．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線的斜率的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意三角形重心坐標(biāo)公式的合理運用．