Question

18．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=2AC=8，作△ABC外接圓O的切線CD，作BD⊥CD于D，交圓O于點(diǎn)E，給出下列四個(gè)結(jié)論：①∠BCD=60°；②DE=2；③BC²=BD•BA；④CE∥AB；則其中正確的序號(hào)是①②③④．

Answer 1

分析 利用直角△ABC的邊角關(guān)系即可得出BC，利用弦切角定理可得∠BCD=∠A=60°．利用直角△BCD的邊角關(guān)系即可得出CD，BD．再利用切割線定理可得CD²=DE•DB，即可得出DE．利用△ACB∽△CDB，可得BC²=BD•BA；證明∠BCE=∠ABC，可得CE∥AB

解答 解：在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=8，∴BC=AB•sin60°=4$\sqrt{3}$．
∵CD是此圓的切線，∴∠BCD=∠A=60°，即①正確．
在Rt△BCD中，CD=BC•cos60°=2$\sqrt{3}$，BD=BC•sin60°=6．
由切割線定理可得CD²=DE•DB，∴12=6DE，解得DE=2，即②正確．
∵∠BCD=∠A，∠D=∠ACB，∴△ACB∽△CDB，∴CB：DB=AB：CB，∴BC²=BD•BA，即③正確；
④∵∠ECD=∠ABC=30°，∠BCD=60°，∴∠BCE=30°=∠ABC，∴CE∥AB，即④正確；
故答案為：①②③④．

點(diǎn)評(píng) 熟練掌握直角三角形的邊角關(guān)系、弦切角定理、切割線定理是解題的關(guān)鍵．