Question

已知函數(shù)f（x）=-x³+ax²+1（a∈R）．
（1）若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（0，

2

3

）上遞增，在區(qū)間[

2

3

，+∞）遞減，求a的值；
（2）當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，設(shè)函數(shù)y=f（x）圖象上任意一點(diǎn)處的切線的傾斜角為θ，若給定常數(shù)a∈（

3

2

，+∞），求tanθ的取值范圍；
（3）在（1）的條件下，是否存在實(shí)數(shù)m，使得函數(shù)g（x）=x⁴-5x³+（2-m）x²+1（m∈R）的圖象與函數(shù)y=f（x）的圖象恰有三個(gè)交點(diǎn)．若存在，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；若不存在，試說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）由f′（x）=-3x²+2ax，且f′（

2

3

）=0，從而求出a=1；
（2）x∈[0，1]時(shí)，tanθ=f′（x）=-3x²+2ax=-3(x-

a

3

)2+

a2

3

，由a∈（

3

2

，+∞），得

a

3

∈（

1

2

，+∞），分別討論①

a

3

∈（

1

2

，1]，②

a

3

∈（1，+∞），從而求出tanθ的取值范圍；
（3）函數(shù)y=f（x）與g（x）=x⁴-5x³+（2-m）x²+1（m∈R）的圖象恰有3個(gè)交點(diǎn)，等價(jià)于方程-x³+x²+1=x⁴-5x³+（2-m）x²+1恰有3個(gè)不等實(shí)根，則

△=16-4(1-m)＞0 1-m≠0

，解出即可．

解答： 解：（1）∵f′（x）=-3x²+2ax，
∴f′（

2

3

）=0，
即：-3(

2

3

)2+2a•

2

3

=0
解得：a=1，
（2）x∈[0，1]時(shí)，tanθ=f′（x）=-3x²+2ax=-3(x-

a

3

)2+

a2

3

，
由a∈（

3

2

，+∞），得

a

3

∈（

1

2

，+∞），
①

a

3

∈（

1

2

，1]，即a∈（

3

2

，3]時(shí)，
f′（x）_max=

a2

3

，f′（x）_min=f′（0）=0，
此時(shí)0≤tanθ≤

a2

3

，
②

a

3

∈（1，+∞），即a∈（3，+∞）時(shí)，
f′（x）_max=f′（1）=2a-3，f′（x）_min=f′（0）=0，
此時(shí)，0≤tanθ≤2a-3，
∵θ∈[0，π），
∴當(dāng)

3

2

＜a≤3時(shí)，0≤tanθ≤

a2

3

，
當(dāng)a＞3時(shí)，0≤tanθ≤2a-3，
（3）函數(shù)y=f（x）與g（x）=x⁴-5x³+（2-m）x²+1（m∈R）的圖象恰有3個(gè)交點(diǎn)，
等價(jià)于方程-x³+x²+1=x⁴-5x³+（2-m）x²+1恰有3個(gè)不等實(shí)根，
∴x⁴-4x³+（1-m）x²=0，
顯然x=0是其中一個(gè)根（二重根），
方程x²-4x+（1-m）=0有兩個(gè)非零不等實(shí)根，
則

△=16-4(1-m)＞0 1-m≠0

，
∴m＞-3且m≠1，
故當(dāng)m＞-3且m≠1時(shí)，函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象恰有3個(gè)交點(diǎn)．

點(diǎn)評：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，滲透了分類討論思想，是一道綜合題．