Question

17．已知函數(shù)f（x）=e^x[x²-（m+2）x+2m+1]．
（1）若函數(shù)f（x）在（0，2）上無極值，求實(shí)數(shù)m的值；
（2）若m＞1，且存在實(shí)數(shù)x₀∈（0，2），使得f（x₀）是f（x）在[0，2]上的最大值，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）若不等式$\frac{f（x）}{e^x}≥2lnx-\frac{1}{x^2}+2m+1$對(duì)于任意0＜x≤1恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，利用f（x）在（ 0，2 ）上無極值，得到m-1=1，即可求實(shí)數(shù)m的值；
（2）令f′（m）=0得  x=1，或 x=m-1，分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，利用f（x₀）是f（x）在[0，2]上的最大值，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）若不等式$\frac{f（x）}{e^x}≥2lnx-\frac{1}{x^2}+2m+1$對(duì)于任意0＜x≤1恒成立，即是$m≤x+\frac{1}{x^3}-\frac{2lnx}{x}-2$對(duì)于任意0＜x≤1恒成立，構(gòu)造函數(shù)求最值，即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=e^x[x²-（m+2）x+2m+1]
∴f′（x）=e^x•[x²-mx+（m-1）]=（x-1）[x-（m-1）]•e^x，
∵f（x）在（ 0，2 ）上無極值
∴m-1=1得m=2…（3分）
（2）∵存在實(shí)數(shù)x₀∈（0，2），使得f（x₀）是f （ x ）在[0，2]上的最大值
∴x∈[0，2]時(shí)，f（x）在x=x₀處取得最大值
由（1）得f′（x）=（x-1）[x-（m-1）]•e^x
令f′（m）=0得  x=1，或 x=m-1
①當(dāng)1＜m＜2時(shí)，0＜m-1＜1，
則f（x）在（0，m-1）上單調(diào)遞增，在（m-1，1）上單調(diào)遞減，在（1，2）上單調(diào)遞增，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{f（m-1）≥f（2）}\\{1＜m＜2}\end{array}}\right.$得 （4-m）e^m-1≥e²即 （4-m）e^m≥e³，
令g（m）=（4-m）e^m則 g′（m）=（3-m）e^m，
由1＜m＜2得g′（m）＞0，∴g（m）在（1，2）上單調(diào)遞增，∴g（m）＜g（2）＜g（3）=e³，
∴g（m）在1＜m＜2時(shí)無解，故舍去；
②當(dāng)m=2時(shí)，m-1=1f（x）在（0，2）上單調(diào)遞增，${f_{max}}（x）=f（2）={e^2}$，不合題意，舍去；
③當(dāng)2＜m＜3時(shí)，1＜m-1＜2f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，m-1）上單調(diào)遞減，在（m-1，2）上單調(diào)遞增，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{f（1）≥f（2）}\\{2＜m＜3}\end{array}}\right.$即$\left\{{\begin{array}{l}{me≥{e^2}}\\{2＜m＜3}\end{array}}\right.$，∴e≤m＜3．
④當(dāng)m≥3時(shí)，m-1≥2f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，2）上單調(diào)遞減，符合題意；
綜上所述：m≥e．…（8分）
（3）由不等式$\frac{f（x）}{e^x}≥2lnx-\frac{1}{x^2}+2m+1$，
即是$m≤x+\frac{1}{x^3}-\frac{2lnx}{x}-2$對(duì)于任意0＜x≤1恒成立
令$h（x）≤x+\frac{1}{x^3}-\frac{2lnx}{x}-2$（0＜x≤1）
則${h^'}（x）=1-\frac{3}{x^4}-\frac{2（1-lnx）}{x^2}=\frac{{{x^4}-3-2{x^2}（1-lnx）}}{x^4}$
∵0＜x≤1，
∴x⁴-3＜0，-2x²（1-lnx）＜0∴h′（x）＜0，
∴h（x）在（0，1]上單調(diào)遞減，∴h_min（x）=h（1）=0
∴m的取值范圍是m≤0．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的極值、單調(diào)性，考查恒成立問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，難度大．