Question

6．某地區(qū)的電價為0.8元/（kW•h），年用電量為1億kW•h，今年電力部門計劃下調(diào)電價以提高用電量、增加收益．下調(diào)電價后新增的用電量與實際電價和原電價的差的平方成正比，比例系數(shù)為50．該地區(qū)電力的成本是0.5元/（kW•h）．
（1）寫出電力部門收益y與實際電價x間的函數(shù)關系時；
（2）隨著x的變化，y的變化有和規(guī)律？
（3）電力部門將電價定為多少，能獲得最大收益？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意可寫出下調(diào)電價后新增的用電量，從而可得電力部門收益y與實際電價x間的函數(shù)關系式；
（2）根據(jù)（1）中建立的函數(shù)，求導，令導數(shù)等于0，分析單調(diào)性即可得解．
（3）求出x=0.64時的函數(shù)值，進行比較，最大的就是最大值．

解答 解：（1）設下調(diào)后的電價為x元/（kW•h），
依題意知用電量增至1+50（x-0.8）²，
電力部門的收益為：y=[1+50（x-0.8）²]（x-0.5），0.5＜x＜0.8．
（2）由（1）知：y=[1+50（x-0.8）²]（x-0.5）=50x³-105x²+73x-16.5，0.5＜x＜0.8，
∴y′=150x²-210x+73．
令y′=0，解得x=0.76，或x=0.64．
可得：當0.5＜x＜0.64時函數(shù)遞增；
當0.64＜x＜0.76時函數(shù)遞減；
當0.76＜x＜0.8時函數(shù)遞增；
x=0.64，x=0.76為函數(shù)的極值點；
（3）由（2）知電力部門將電價定位0.64元/（kW．h）時，
可以獲得最大受益，最大受益為0.3192億元．

點評 本題主要考查實際問題中的數(shù)據(jù)提取和分析能力，考查導數(shù)再求函數(shù)最大值中的應用，屬于中檔題．