Question

3．設△ABC的內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，且b=3，c=1，A=2B，則sinA=$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$．

Answer 1

分析 由題意和正弦定理可得a=6cosB，代入余弦定理可得cosB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，進而可得sinB=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，再由正弦定理可得sinA=$\frac{asinB}$代值計算可得．

解答 解：∵△ABC中b=3，c=1，A=2B，
∴由正弦定理可得a=$\frac{bsinA}{sinB}$=$\frac{3sin2B}{cosB}$=6cosB，
由余弦定理可得9=（6cosB）²+1-2×6cosB×1×cosB，
解得cos²B=$\frac{1}{3}$，由B不是三角形最大角，故cosB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴a=2$\sqrt{3}$，sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
再由正弦定理可得sinA=$\frac{asinB}$=$\frac{2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{6}}{3}}{3}$=$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，
故答案為：$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$．

點評 本題考查正余弦定理解三角形，涉及同角三角函數(shù)基本關系和整體代入的思想，屬中檔題．