Question

在△ABC中，點D為邊BC上靠近B點的三等分點，動直線MN過AD的中點O，

AB

=

a

，

AC

=

b

，

AN

=m

a

，

AM

=n

b

，則m+2n的最小值為

 

．

Answer 1

考點：平面向量的基本定理及其意義,向量的線性運算性質(zhì)及幾何意義

專題：平面向量及應用

分析：畫出圖形，如圖所示．由于M，O，N三點共線，利用向量共線定理可得：存在實數(shù)λ使得

AO

=λ

AN

+(1-λ)

AM

，又

AN

=m

a

，

AM

=n

b

，

AO

=

1

2

AD

．代入可得

AD

=2λm

a

+2n(1-λ)

b

．（*）另一方面：點D為邊BC上靠近B點的三等分點，可得

AD

=

AB

+

BD

=

2

3

a

+

1

3

b

．與（*）比較可得：

2λm= 2 3 2n(1-λ)= 1 3

，消去λ化為

2

m

+

1

n

=6．再利用“乘1法”和基本不等式即可得出．

解答： 解：畫出圖形，如圖所示．
∵M，O，N三點共線，∴存在實數(shù)λ使得

AO

=λ

AN

+(1-λ)

AM

，
∵

AB

=

a

，

AC

=

b

，

AN

=m

a

，

AM

=n

b

，

AO

=

1

2

AD

．
∴

1

2

AD

=λm

a

+n(1-λ)

b

，即

AD

=2λm

a

+2n(1-λ)

b

．（*）
∵點D為邊BC上靠近B點的三等分點，
∴

AD

=

AB

+

BD

=

AB

+

1

3

BC

=

AB

+

1

3

(

AC

-

AB

)=

2

3

AB

+

1

3

AC

=

2

3

a

+

1

3

b

．
與（*）比較可得：

2λm= 2 3 2n(1-λ)= 1 3

，消去λ化為

2

m

+

1

n

=6．
∵m，n＞0，
∴m+2n=

1

6

(

2

m

+

1

n

)(m+2n)=

1

6

(4+

m

n

+

4n

m

)≥

1

6

(4+2

m n • 4n m

)=

4

3

，當且僅當m=2n=

2

3

時取等號．
∴m+2n的最小值為

4

3

．
故答案為：

4

3

．

點評：本題考查了向量的共線定理、共面向量基本定理、向量的三角形法則、“乘1法”和基本不等式，考查了推理能力和技能數(shù)列，屬于難題．