Question

5．已知函數(shù)f（x）=cos（$\frac{π}{6}$-2x）+2sinxsin（$\frac{π}{2}$-x），在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若f（$\frac{A}{2}$）=$\sqrt{3}$．
（1）求cos（A+$\frac{π}{6}$）的值；
（2）若a=$\sqrt{3}$，設內角B為x，△ABC的周長為y，求y=g（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）由三角函數(shù)恒等變換化簡解析式可得f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{6}$），由f（$\frac{A}{2}$）=$\sqrt{3}$．又0＜A＜π，即可解得A=$\frac{π}{3}$，從而可求cos（A+$\frac{π}{6}$）的值；
（2）由題意可求得內角C，由正弦定理可求得b，c，由題意可得y=2$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{π}{6}$）+$\sqrt{3}$，根據正弦函數(shù)的單調性即可求得y=g（x）的最大值．

解答 解：（1）f（x）=cos（$\frac{π}{6}$-2x）+2sinxsin（$\frac{π}{2}$-x）
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$sin2x+sin2x
=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）
∵f（$\frac{A}{2}$）=$\sqrt{3}$sin（2×$\frac{A}{2}$+$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{3}$，可解得：A+$\frac{π}{6}$=2kπ$+\frac{π}{2}$，k∈Z．
又∵0＜A＜π，
∴解得：A=$\frac{π}{3}$，
∴cos（A+$\frac{π}{6}$）=cos$\frac{π}{2}$=0．
（2）∵內角B為x，
∴內角C為：$\frac{2π}{3}$-x，
∴由正弦定理可得：b=$\frac{asinx}{sinA}$=2sinx，c=$\frac{asin（\frac{2π}{3}-x）}{sinA}$=2sin（$\frac{2π}{3}$-x），
∴由題意可得：y=$\sqrt{3}$+2sinx+2sin（$\frac{2π}{3}$-x）=$\sqrt{3}$cosx+3sinx+$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{π}{6}$）+$\sqrt{3}$，
∴y_max=3$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換，三角形內角和定理，正弦定理，正弦函數(shù)的單調性的應用，屬于基本知識的考查．