Question

19．設等比數(shù)列{a_n}的公比q＞1，前n項和為S_n，則$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{S}_{n+2}}{{S}_{n}}$=q²．

Answer 1

分析 利用等比數(shù)列求和以及數(shù)列的極限求解即可．

解答 解：等比數(shù)列{a_n}的公比q＞1，前n項和為S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$，
則$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{S}_{n+2}}{{S}_{n}}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n+2}）}{1-q}}{\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1-{q}^{n}•{q}^{2}}{1-{q}^{n}}$
=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{\frac{1}{{q}^{n}}-{q}^{2}}{\frac{1}{{q}^{2}}-1}$=$\frac{-{q}^{2}}{-1}$=q²．
故答案為：q²．

點評 本題考查等比數(shù)列的應用，數(shù)列的求和，考查數(shù)列的極限的應用．