Question

14．求y=$\frac{{x}^{2}-x+1}{{x}^{2}+x+1}$（x∈（0，+∞））值域．

Answer 1

分析 根據(jù)x＞0，原函數(shù)解析式的分子分母同除以x并分離常數(shù)即可得到$y=1-\frac{2}{x+\frac{1}{x}+1}$，根據(jù)基本不等式有$x+\frac{1}{x}≥2$，從而求出$\frac{2}{x+\frac{1}{x}+1}$的范圍，進而便可得出y的范圍，即求出該函數(shù)的值域．

解答 解：∵x＞0；
∴$y=\frac{{x}^{2}-x+1}{{x}^{2}+x+1}=\frac{x+\frac{1}{x}-1}{x+\frac{1}{x}+1}=1-\frac{2}{x+\frac{1}{x}+1}$；
$x+\frac{1}{x}≥2$，x=1時取“=”；
∴$x+\frac{1}{x}+1≥3$；
∴$0＜\frac{2}{x+\frac{1}{x}+1}≤\frac{2}{3}$；
∴$\frac{1}{3}≤y＜1$；
∴該函數(shù)的值域為$[\frac{1}{3}，1）$．

點評 考查函數(shù)值域的概念及求法，分離常數(shù)法的運用，基本不等式在求值域上的運用，以及不等式的性質(zhì)．