Question

15．如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD=2$\sqrt{3}$，BC=CD=2，∠BAD=60°，點(diǎn)M為線段AD的中點(diǎn)，將△DMC沿線段MC翻折到△PMC（點(diǎn)D與點(diǎn)P重合），使得平面PAC⊥平面ABCD，連接PA、PB．
（1）在AB上是否存在一點(diǎn)N，使得PC⊥平面PMN？若存在，指出點(diǎn)N的位置并加以證明，若不存在，請(qǐng)說明理由；
（2）求二面角P-MC-B的正切值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線面垂直的判定定理，結(jié)合圖象折疊前后的位置關(guān)系進(jìn)行判斷即可．
（2）建立坐標(biāo)系，利用向量法即可求二面角P-MC-B的正切值．

解答 解：（1）∵在四邊形ABCD中，AB=AD=2$\sqrt{3}$，BC=CD=2，∠BAD=60°，
∴連接AC，BD相交于O，
則O為BD的中點(diǎn)，且AO⊥BD，
∵∠BAD=60°，∴∠CAD=30°，
則AD⊥CD，即MP⊥PC，
∵將△DMC沿線段MC翻折到△PMC（點(diǎn)D與點(diǎn)P重合），使得平面PAC⊥平面ABCD，
∴PO⊥平面ABC，
AO=3，CO=1，DO=OB=OP=$\sqrt{3}$，
在AB上若存在一點(diǎn)N，使得PC⊥平面PMN，
則∵PC⊥MP，
∴只需要PC⊥MN，即可，
即MN⊥平面PAC即可，MN⊥AO，
∵M(jìn)為線段AD的中點(diǎn)，
∴N為線段AB的中點(diǎn)，
即當(dāng)N為線段AB的中點(diǎn)時(shí)，滿足PC⊥平面PMN．
（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OB，OP分別為x，y，z軸，建立空間坐標(biāo)系如圖：
則A（3，0，0），B（0，$\sqrt{3}$，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），D（0，-$\sqrt{3}$，0），
M（$\frac{3}{2}$，$-\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），C（-1，0，0）
設(shè)平面PMC的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\overrightarrow{PM}$=（$\frac{3}{2}$，$-\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{PC}$=（-1，0，-$\sqrt{3}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PM}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PC}=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}x-\frac{\sqrt{3}}{2}y-\sqrt{3}z=0}\\{-x-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，
令x=$\sqrt{3}$，則y=1，z=-1，
即$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，1，-1），
平面MBC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
則cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-1}{1×\sqrt{3+1+1}}=-\frac{1}{\sqrt{5}}$，
∵二面角P-MC-B為銳二面角，
∴設(shè)二面角為θ，
則cosθ=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，sinθ=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
則tanθ=2，
即二面角P-MC-B的正切值為2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查空間線面垂直的判定以及二面角的求解，建立空間坐標(biāo)系，利用向量法是解決本題的關(guān)鍵．