Question

14．已知函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y恒有f（x）=f（y）+f（x-y），當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜0，且f（2）=-3．
（Ⅰ）求f（0），并判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）證明：函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)遞減；
（Ⅲ）若不等式f（2^x-3）-f（-2^2x）＜f（k•2^x）+6在區(qū)間（-2，2）內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分別取x=y=0，和x=0可得f（0）=0，進(jìn)而可得f（-y）=-f（y），可判f（x）為奇函數(shù)；
（Ⅱ）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，可得f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁），結(jié)合已知可判f（x₂）-f（x₁）＜0，可得單調(diào)性；
（Ⅲ）由已知式子可得f（4）=-6，不等式f（2^x-3）-f（-2^2x）＜f（k•2^x）+6在區(qū)間（-2，2）內(nèi)恒成立轉(zhuǎn)化為k＜2^x+2^-x+1在區(qū)間（-2，2）內(nèi)恒成立，即可求實(shí)數(shù)k的取值范圍．．

解答 （Ⅰ）解：令x=y=0，可得f（0）=f（0）+f（0），解得f（0）=0----------（2分）
令x=0，可得f（0）=f（y）+f（-y），即f（-y）=-f（y）
故f（x）為奇函數(shù)----------（4分）
（Ⅱ）證明：任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
則f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁）
∵x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0，∴f（x₂-x₁）＜0
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，f（x₂）＜f（x₁），
故函數(shù)f（x）在R上為減函數(shù)----------（8分）
（Ⅲ）解：∵f（2）=-3，
∴f（4）=f（2）+f（2）=-6，-------（9分）
∵不等式f（2^x-3）-f（-2^2x）＜f（k•2^x）+6在區(qū)間（-2，2）內(nèi)恒成立----------（11分）
∴f（2^x-3+2^2x）＜f（k•2^x-4）在區(qū)間（-2，2）內(nèi)恒成立．
∵函數(shù)f（x）在R上為減函數(shù)，
∴2^x-3+2^2x＞k•2^x-4在區(qū)間（-2，2）內(nèi)恒成立
∴k＜2^x+2^-x+1在區(qū)間（-2，2）內(nèi)恒成立，
∵x∈（-2，2），∴2^x+2^-x∈[2，$\frac{17}{4}$），
∴k＜2----------（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查抽象函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的判斷，賦值是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題．