【題目】求所有正整數(shù),使得給定序列,,中的每一項都是平方數(shù)。
【答案】見解析
【解析】
解法1 由已知可得,.
則.
故.
當時,有.
當時,有.
當時,.
由于與互質(zhì),則與是一組本原勾股數(shù).
因此,存在互質(zhì)的正整數(shù),且,
使得(1)
(2)
第(1)種情形中,由式①、②得. ④
由上式知為奇數(shù),則為偶數(shù),為奇數(shù).
于是,由式②及,知. ⑤
再利用式④得.
則, ⑥
其中,是相鄰的兩個整數(shù).
由于它們互質(zhì),則.
于是,.
若,則.
此式具有的形式,已證明它沒有滿足的整數(shù)解,故,矛盾.
若,則.
此式具有的形式,也已證明它沒有滿足的整數(shù)解,故.
于是,.
由式④得.
由式②知,從而,.
第(2)種情形下,沒有滿足條件的正整數(shù)解.
綜上,找到了關于的所有選擇
.
當時,得到一個各項均為平方數(shù)的周期序列:4,4,0,4,4,0,….
當時,得到一個各項均為平方數(shù)4的常數(shù)序列:4,4,4,4,….
當時,,
,
,
,
,
……
由此可猜測此序列是斐波那契數(shù)列中奇數(shù)項的平方的4倍,即
.
如果是斐波那契數(shù)列,易知及,
故為平方數(shù).
因此,,
即為平方數(shù).
這說明符合題設要求.
綜上,所有的取值為1,3,9.
解法2 由,,
得.
于是,是偶數(shù),又是平方數(shù).
故可設.
從而,.
則.
故,
.
由是平方數(shù),可設. ①
當時,.
此時,,
,
.
從而,數(shù)列的周期數(shù)列:
4,4,0,4,4,0,….
因此,滿足條件.
當時,.
從而,數(shù)列為常數(shù)數(shù)列; 4,4,4,….
因此,滿足條件.
當時,有式①知, ②
.
故 .
從而,,即式②等號成立.
于是.此時,.
以下同解法1.
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【題目】已知的展開式中第5項與第7項的二項數(shù)系數(shù)相等,且展開式的各項系數(shù)之和為1024,則下列說法正確的是( )
A.展開式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為256
B.展開式中第6項的系數(shù)最大
C.展開式中存在常數(shù)項
D.展開式中含項的系數(shù)為45
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【題目】已知橢圓 的離心率為,過橢圓的焦點且與長軸垂直的弦長為1.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設點M為橢圓上第一象限內(nèi)一動點,A,B分別為橢圓的左頂點和下頂點,直線MB與x軸交于點C,直線MA與y軸交于點D,求證:四邊形ABCD的面積為定值.
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【題目】某水果經(jīng)銷商為了對一批剛上市水果進行合理定價,將該水果按事先擬定的價格進行試銷,得到一組銷售數(shù)據(jù),如表所示:
試銷單價(元/公斤) | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
日銷售量(公斤) | 168 | 146 | 120 | 90 | 56 |
(1)已知變量具有線性相關關系,求該水果日銷售量(公斤)關于試銷單價(元/公斤)的線性回歸方程,并據(jù)此分析銷售單價時,日銷售量的變化情況;
(2)若該水果進價為每公斤元,預計在今后的銷售中,日銷售量和售價仍然服從(1)中的線性相關關系,該水果經(jīng)銷商如果想獲得最大的日銷售利潤,此水果的售價應定為多少元?
(參考數(shù)據(jù)及公式:,,,線性回歸方程,,)
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【題目】已知四邊形ABCD外切于,△ACB的內(nèi)切圓與邊AB、BC的切點分別為P、Q,,△ACD的內(nèi)切圓與邊CD、DA的切點分別為R、S. 求證:三條直線PQ、RS、AC共點或平行.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程為y=4x+4.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)討論f(x)的單調(diào)性.
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【題目】若直線表示兩和不同的直線,則的充要條件是( )
A.存在直線,使,B.存在平面,使,
C.存在平面,使,D.存在直線,使與直線所成的角都是
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【題目】小趙和小王約定在早上至之間到某公交站搭乘公交車去上學,已知在這段時間內(nèi),共有班公交車到達該站,到站的時間分別為,,如果他們約定見車就搭乘,則小趙和小王恰好能搭乘同一班公交車去上學的概率為__________.
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