Question

3．在等邊△ABC中，M為△ABC內(nèi)一動點，∠BMC=120°，則$\frac{MA}{MC}$的最小值是（　　）

• A． 1
• B． $\frac{3}{4}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 如圖所示，不妨設(shè)等邊△ABC的邊長為2，M為△ABC內(nèi)一動點，∠BMC=120°．點M在弦BC所對的弓形$\widehat{BMC}$上，∠BQC=120°．由圖可知：當(dāng)點M取與y軸的交點時，∠MBC=30°，可得：Q$（0，-\frac{\sqrt{3}}{3}）$，A$（0，\sqrt{3}）$，C（1，0），M（x，y）．設(shè)參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2\sqrt{3}}{3}cosθ}\\{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3}sinθ}\end{array}\right.$，$\frac{|MA{|}^{2}}{|MC{|}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+（y-\sqrt{3}）^{2}}{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{5-4sinθ}{2-\sqrt{3}cosθ-sinθ}$=t，化為：sin（θ+β）=$\frac{5-2t}{\sqrt{（4-t）^{2}+（\sqrt{3}t）^{2}}}$≤1，解出即可得出．

解答 解：如圖所示，
不妨設(shè)等邊△ABC的邊長為2，
∵M為△ABC內(nèi)一動點，∠BMC=120°，
∴點M在弦BC所對的弓形$\widehat{BMC}$上，∠BQC=120°．
由圖可知：當(dāng)點M取與y軸的交點時，∠MBC=30°，
可得：Q$（0，-\frac{\sqrt{3}}{3}）$，A$（0，\sqrt{3}）$，C（1，0），M（x，y）．
點M所在圓的方程為：${x}^{2}+（y+\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}$=$\frac{4}{3}$．
設(shè)參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2\sqrt{3}}{3}cosθ}\\{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3}sinθ}\end{array}\right.$，
∴$\frac{|MA{|}^{2}}{|MC{|}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+（y-\sqrt{3}）^{2}}{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{\frac{4}{3}co{s}^{2}θ+（-\frac{4\sqrt{3}}{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3}sinθ）^{2}}{（\frac{2\sqrt{3}}{3}cosθ-1）^{2}+（-\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3}sinθ）^{2}}$=$\frac{5-4sinθ}{2-\sqrt{3}cosθ-sinθ}$=t，
化為：sin（θ+β）=$\frac{5-2t}{\sqrt{（4-t）^{2}+（\sqrt{3}t）^{2}}}$≤1，
解得t≥$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{|MA|}{|MC|}$$≥\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故選：C．

點評 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、圓的性質(zhì)、直角三角形的邊角關(guān)系、三角函數(shù)的單調(diào)性、和差公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．