Question

16．已知a≥0，當x為何值時，函數f（x）=（x²-2ax）•e^x取得最小值？并證明你的結論．

Answer 1

分析 直接求兩個函數乘積的導函數，令其等于0，求出極值點，判斷單調性，進而求出最小值；

解答 證明：令f′（x）=0即[x²-2（a-1）x-2a]e^x=0，
∴x²-2（a-1）x-2a=0
∵△=[2（a-1）]²+8a=4（a²+1）＞0，
∴x₁=a-1-$\sqrt{{a}^{2}+1}$，x₂=a-1+$\sqrt{{a}^{2}+1}$，
又∵當x∈（-∞，a-1-$\sqrt{{a}^{2}+1}$）時，f′（x）＞0；
當x∈（a-1-$\sqrt{{a}^{2}+1}$，a-1+$\sqrt{{a}^{2}+1}$）時，f′（x）＜0；
當x∈（a-1+$\sqrt{{a}^{2}+1}$，+∞）時，f′（x）＞0．
列表如下：

x	（-∞，a-1-$\sqrt{{a}^{2}+1}$）	a-1-$\sqrt{{a}^{2}+1}$	（a-1-$\sqrt{{a}^{2}+1}$，a-1+$\sqrt{{a}^{2}+1}$）	a-1+$\sqrt{{a}^{2}+1}$	（a-1+$\sqrt{{a}^{2}+1}$，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

∴x₁，x₂分別為f（x）的極大值與極小值點．
又∵$\underset{lim}{n→∞}$f（x）=0；當x→+∞時，f（x）→+∞．
而f（a-1+$\sqrt{{a}^{2}+1}$）=2（1-$\sqrt{{a}^{2}+1}$）${e}^{a-1+\sqrt{{a}^{2}+1}}$＜0．
∴當x=a-1+$\sqrt{{a}^{2}+1}$時，f（x）取得最小值．

點評 本題考查函數單調性的性質，導數在函數最大值、最小值中的應用，運用轉化思想是解決此類題目的關鍵，屬于中檔題．