Question

7．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足2S_n+a_n=n²+2n+2，n∈N^*，數(shù)列{b_n}滿足b_n=a_n-n．
（Ⅰ）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{nb_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （I）通過2S_n+a_n=n²+2n+2與2S_n+1+a_n+1=（n+1）²+2（n+1）+2作差、整理可知3a_n+1-a_n=2n+3，利用b_n=a_n-n化簡可知3b_n+1=b_n，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論；
（II）通過（I）可知nb_n=n•$\frac{2}{{3}^{n}}$，進(jìn)而利用錯(cuò)位相減法計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（I）由2S_n+a_n=n²+2n+2，①
得2S₁+a₁=5，即a₁=$\frac{5}{3}$，
2S_n+1+a_n+1=（n+1）²+2（n+1）+2，②
②-①得：3a_n+1-a_n=2n+3，
∵b_n=a_n-n，
∴a_n=b_n+n，a_n+1=b_n+1+n+1，
∴3（b_n+1+n+1）-（b_n+n）=2n+3，
整理得：3b_n+1=b_n，
又∵b₁=a₁-1=$\frac{2}{3}$，
∴數(shù)列{b_n}是以首項(xiàng)為$\frac{2}{3}$、公比為$\frac{1}{3}$的等比數(shù)列，
∴b_n=$\frac{2}{{3}^{n}}$；
（II）由（I）可知nb_n=n•$\frac{2}{{3}^{n}}$，
∴T_n=2（$\frac{1}{3}$+$\frac{2}{{3}^{2}}$+…+$\frac{n}{{3}^{n}}$），
$\frac{1}{3}$T_n=2（$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{2}{{3}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{3}^{n}}$+$\frac{n}{{3}^{n+1}}$），
兩式相減得：$\frac{2}{3}$T_n=2（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$-$\frac{n}{{3}^{n+1}}$）=2[$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$-$\frac{n}{{3}^{n+1}}$]=1-$\frac{2n+3}{{3}^{n+1}}$，
∴T_n=$\frac{3}{2}$（1-$\frac{2n+3}{{3}^{n+1}}$）．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查錯(cuò)位相減法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．